\markright{\emph{Сергеев~И.Н.}, Класс Бэра крайних
характеристических частот}
\begin{center}
{\bf\LARGE Класс Бэра\\ крайних характеристических частот\\
линейных дифференциальных уравнений

}

\vspace{5mm}

{\bf\large Сергеев~И.Н.\footnote{Сергеев Игорь Николаевич,
igniserg@gmail.com, профессор, кафедра дифференциальных уравнений,
ме\-ха\-ни\-ко-ма\-те\-ма\-ти\-чес\-кий факультет МГУ им.
М.В.~Ломоносова.}}
\end{center}
\vspace{5mm}

\begin{small}\begin{quote}
 Для линейного однородного дифференциального уравнения введен ряд характеристик его решений,
 \emph{ляпуновского} типа, называемых их \emph{частотами} и отвечающих за их \emph{колеблемость}.
 Наибольшая и наименьшая из всех частот решений одного уравнения,
 рассматриваемые как функции от его коэффициентов, оказываются, вообще говоря, \emph{разрывными}
 и, как доказано в работе, принадлежат \emph{второму классу Бэра}.
\end{quote}\end{small}

 \vspace{5mm}

 Для заданного $n\in\mathbb{N}$ обозначим через ${\cal E}^n$ множество линейных однородных дифференциальных уравнений $n$-го порядка
 $$
 y^{(n)}+a_1(t)y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(t)\dot{y}+a_n(t) y=0,\quad t\in I,
 $$
 с \emph{ограниченными непрерывными} коэффициентами, образующими строку...

 Прежде всего, для каждого уравнения $a\in{\cal E}^n$, произвольного решения $y\in{\cal S}_*(a)$ и момента $t>0$,
 полагая либо $\nu=\nu^0$, либо $\nu=\nu^-$, либо $\nu=\nu^+$, будем понимать под выражением $\nu(y,t)$ соответственно:
\begin{itemize}
 \item либо число $\nu^0(y,t)$ \emph{нулей} функции $y$ на промежутке $(0;t]$;
 \item либо число $\nu^-(y,t)$ точек смены \emph{знака} функции $y$ на промежутке $(0;t]$;
 \item либо суммарное число $\nu^+(y,t)$ \emph{корней} функции $y$ на промежутке $(0;t]$ с учетом их \emph{кратности}...
\end{itemize}

\begin{defin1}[\cite{SergC, SergD}] \label{ch} \emph{Верхней} или \emph{нижней}
 \emph{частотой нулей, знаков} или \emph{корней} решения $y\in{\cal S}_*(a)$ будем называть величину
 $$
 \hat{\nu}(y)\equiv\varlimsup_{t\to\infty}\frac1t\nu(y,\pi t)\quad\mbox{или}\quad
 \check{\nu}(y)\equiv\varliminf_{t\to\infty}\frac1t\nu(y,\pi t)
 $$
 при $\nu=\nu^0,\nu^-,\nu^+$ соответственно...
\end{defin1}

 В случае $n=1$ все рассматриваемые частоты равны нулю. При $n=2$ также имеет место некоторое вырождение, как показывает

\begin{lemma1}[\cite{SergR}]\label{n2} Для любого уравнения $a\in{\cal E}^2$ существуют такие числа $\hat\nu(a)$ и
 $\check\nu(a)$, с которыми совпадают все верхние и, соответственно, все нижние частоты всех решений $y\in{\cal S}_*(a)$,
 а с ними и крайние частоты самого уравнения $a$, причем каждая из функций
 $$
 \hat\nu\colon {\cal E}^2\to\mathbb{R},\quad\check\nu\colon {\cal E}^2\to\mathbb{R},
 $$
 непрерывна в равномерной топологии пространства ${\cal E}^n$.
\end{lemma1}

\begin{proof} В случае $n=2$ имеем следующее:
\begin{enumerate}
 \item[1)] все неравенства обращаются в равенства...
 \item[2)] учитывая теорему II \cite{SergD}, заключаем...
\end{enumerate}

 Лемма \ref{n2} доказана.
\end{proof}

 Вопрос о нахождении точных классов Бэра хотя бы для некоторых крайних частот разрешает

 \begin{theorem1}[\cite{SergB}] \label{kBr}
 При любом $n>2$ младшая верхняя частота знаков $\hat{\nu}^-_1$
 и старшая нижняя частота корней $\check{\nu}^+_n$ на пространстве ${\cal E}^n$
 принадлежат как в ком\-пакт\-но-от\-кры\-той, так и в равномерной топологии в точности второму
 классу Бэра, которому при $n=2$ принадлежат в ком\-пакт\-но-от\-кры\-той топологии и все остальные главные частоты.
\end{theorem1}

\begin{proof}
 Пусть для некоторого $n\geqslant 2$ пространство ${\cal E}^n$ наделено компактно-открытой
 топологией...
 Поэтому они в компактно-открытой топологии пространства
 ${\cal E}^n$ принадлежат второму классу Бэра.

 Теорема \ref{kBr} доказана.
 \end{proof}

 \begin{corollary1}
 При любом $n>2$...
 \end{corollary1}

 \begin{thebibliography}{99}

\bibitem{SergC}\emph{Сергеев~И.Н.}, Определение характеристических частот линейного уравнения //
 Дифференц.\ уравнения,\ 2004,\ т. 40, \No 11,\ с. 1573.

 \bibitem{SergD}\emph{Сергеев~И.Н.}, Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения
 // Тр.\ семинара им.\ И.Г.~Петровского,\ 2006,\ вып. 25,\ с. 249--294.

 \bibitem{SergR}\emph{Сергеев~И.Н.}, Подвижность характеристических частот линейного уравнения при равномерно
 малых и бесконечно малых возмущениях // Дифференц.\ уравнения,\ 2004,\ т. 40, \No 11,\ с. 1576.

 \bibitem{SergB}\emph{Сергеев~И.Н.}, О классах Бэра характеристических частот линейного уравнения //
 Дифференц.\ уравнения,\ 2005,\ т. 41, \No 6,\ с. 852.

\end{thebibliography}
