\markright{\emph{Чубариков~В.Н.}, Об одном применении интеграла
Дирихле}

\begin{center}
{\bf\LARGE Об одном применении интеграла Дирихле

}

\vspace{5mm}

{\bf\large Чубариков~В.Н.\footnote{Чубариков Владимир Николаевич,
chubarik1@mech.math.msu.su chubarik2009@live.ru, профессор, зав.
кафедрой математических и компьютерных методов анализа,
ме\-ха\-ни\-ко-ма\-те\-ма\-ти\-чес\-кий факультет МГУ им.
М.В.~Ломоносова.}}
\end{center}
\vspace{5mm}

\begin{small}\begin{quote}
Найдено преобразование Фурье с остатком для разрывного множителя и получена оценка преобразования Фурье этого остатка.
\end{quote}\end{small}

\vspace{1mm} \centerline{\bf\Large }

Рассмотрим интеграл Дирихле вида
$$
D(x)=\frac 2{\pi}\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin{(2\pi xy)}}{y}\; dy=
\begin{cases}
1, & \hbox{если}\quad x>0, \\
0, & \hbox{если}\quad x=0,\\
-1, & \hbox{если}\quad x<0. \\
\end{cases}
$$
В настоящей работе будет дано еще одно применение этого интеграла $D(x)$ (другие применения см., например, в \cite{ASC}).
Найденные ниже теоремы 1 и 2 являются полезным инструментом в диофантовом анализе.

Пусть $\Delta>0$~---~вещественное число, и пусть $h_{\Delta}(x)$~---~индикаторная функция промежутка
$[-\Delta,\Delta],$ т.е.
$$
h_\Delta(x)=
\begin{cases}
1,& \hbox{если}\quad |x|<\Delta,\\
1/2,& \hbox{если}\quad |x|=\Delta,\\
0,& \hbox{если}\quad|x|>\Delta.
\end{cases}
$$
Тогда находим
$$
h_\Delta(x)=\frac 12\left(D(x+\Delta)-D(x-\Delta)\right).
$$
Воспользовавшись формулой для интеграла Дирихле $D(x),$  получим
$$
h_\Delta(x)=\frac 2\pi\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin{(2\pi\Delta y)}}y\cos{(2\pi xy)}\; dy.
$$

\begin{theorem1}
Пусть $T\Delta \geq 1.$ Тогда имеем
$$
h_\Delta(x)=A(x,T)+R(x,T),
$$
где
\begin{eqnarray*}
&A(x,T)=\frac 2\pi\int\limits_0^{T}\frac{\sin{(2\pi\Delta
y)}}y\cos{(2\pi ixy)}\; dy=\frac
12\left(D_T(x+\Delta)-D_T(x-\Delta)\right),\\
&D_T(u)=\frac 2{\pi}\int\limits_0^{T}\frac{\sin{(2\pi uy)}}{y}\;
dy,\quad |R(x,T)|\leq\sigma(x,T)=\frac
8{\sqrt{1+T^2(\Delta-|x|)^2}}.
\end{eqnarray*}\end{theorem1}

\begin{proof}
Преобразуем интеграл $R(x,T)$...

Теорема 1 доказана.
\end{proof}

\begin{theorem1}
При $T\Delta\geq 1$ имеет место формула
$$
\sigma(x,T)=\frac
8{\sqrt{1+T^2(\Delta-|x|)^2}}=\int\limits_0^{\infty}f(y)\cos{(2\pi
xy)}\;dy,
$$
причем для $y\geq 0$ справедливо неравенство
$$
|f(y)|\leq\frac{1+\ln T}Te^{-y/T}.
$$
\end{theorem1}

\begin{proof}
Из интегральной формулы Фурье для функции $\sigma(x,T)$ находим
формулу для функции $f(y)$... (см. рис. ниже)...
$$
\begin{picture}(100,100)
\put(100,-5){x}
\put(-5,100){y}
\put(0,0){\vector(1,0){100}}
\put(0,0){\vector(0,1){100}}
\put(0,0){\vector(1,0){80}}
\put(0,80){\vector(0,-1){80}}
\put(-10,80){V}
\put(80,-10){U}
\put(80,80){W}
\put(30,80){P}
\put(30,10){Q}
\put(-10,-10){O}
\put(25,-10){$\Delta$}
\put(29,80){\vector(-1,0){29}}
\put(80,80){\vector(-1,0){49}}
\put(80,0){\vector(0,1){80}}
\put(29,20){\vector(0,1){60}}
\put(31,80){\vector(0,-1){60}}
\put(29,20){\line(1,0){2}}
\end{picture}
$$

Стандартное применение теоремы Коши к функции $h(z)$ и
рассматриваемому контуру $L$ приводит к доказательству теоремы 2.
\end{proof}

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem[1]{ASC} \emph{Архипов~Г.И., Садовничий~В.А., Чубариков~В.Н.},
Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2008.

\end{thebibliography}
